Recientemente recibí un comentario en uno de mis posts, sobre cómo se utiliza la integral definida para calcular el volumen de un sólido de revolución. Este método se llama “volumen de un sólido de revolución por secciones planas”. En el libro Cálculo y geometría analítica, de Sherman K. Stein, (Tercera Edición, Editorial Mc-Graw Hill, México, 1982, página 483) enuncia el problema como sigue:

                                  

“Sea clip_image002una función continua tal que clip_image004 para todo clip_image006 de clip_image008. Sea clip_image010 la región comprendida entre clip_image012 y el intervalo clip_image008[1]. Esa región la giramos alrededor del eje clip_image006[1] para formar un sólido de revolución. ¿Cuál es el volumen del sólido?” La función y la región definida por ella se muestran en la figura 1. El sólido de revolución obtenido al girar la función en torno al eje clip_image006[2] se muestra en la figura 2.

                             

clip_image014

Figura 1. Función que se va a rotar
en torno al eje x y área
definida por ella

               

clip_image016

Figura 2. Sólido de revolución obtenido

                    

El método a seguir es sencillo: consideremos un punto clip_image002[4] genérico en el intervalo clip_image004[4] mostrado en la figura 3. La longitud del segmento de recta que une al eje clip_image002[5] con la curva formada por la función es precisamente clip_image006[16], pues ese es el valor de clip_image008[8] para cualquier punto clip_image002[6]. El caso es que al girar este segmento de recta alrededor del eje clip_image002[7] se forma, como también se aprecia en la figura 3, un disco de radio clip_image010[4]. Sabemos que el área de un disco de radio clip_image012[6] es clip_image014. Con clip_image016 nos queda que el área del disco en cuestión es:

        

clip_image026

            

Y su volumen será

             

clip_image028

              

Donde clip_image030 es la altura del disco.

                   

clip_image032

Figura 3. Punto genérico que al rotar
forma un disco de radio
clip_image034

                             

Esto nos sugiere que podemos suponer el sólido de revolución como compuesto por infinitos discos superpuestos y que el volumen total del sólido será la suma de todos los discos que lo conforman. Esto a su vez nos indica que pudiéramos asignar una integral definida que nos proporcione directamente el volumen del sólido. Así, elegimos –y por razones bastante evidentes– como límites de integración los límites del intervalo en el que está definida la función, y tenemos:

                        

clip_image036

                       

Esta integral nos proporciona el volumen de cualquier sólido de revolución cuya función generadora cumpla con las condiciones especificadas en el planteamiento del problema. En un artículo posterior nos ocuparemos del cálculo del volumen de un sólido de revolución por capas concéntricas, el cual sólido se forma cuando una región en el plano clip_image038 se hace girar en torno al eje clip_image020[1] u otra recta paralela a este.