Mientras repasaba la teoría de las Ecuaciones Diferenciales –un curso que aprobé hace ya casi un año– me encontré con algunas aplicaciones interesantes. Por ejemplo, hallé un ejercicio que muestra la aplicación de estas ecuaciones para resolver un circuito RC en corriente alterna. Decidí entonces abordar el problema y he aquí el resultado. El encabezado del ejercicio es como sigue:

“Una resistencia de 50 se conecta en serie con un capacitor de 5 mF y una fem decreciente dada por E (t) = 300 e-4t. Sabiendo que la carga inicial es igual a cero, encuentre la carga y la corriente en función del tiempo. Además determine el instante en que la carga es máxima e indique el valor de dicha carga.”

Es digno de mención que para resolver este problema ni siquiera hace falta trazar el diagrama del circuito, y de hecho yo no lo haré. No es mi intención seguir el curso de la corriente o la dirección de las caídas de voltaje, sino dar tratamiento matemático a la información disponible y resolver así el problema.

Comenzaremos aplicando la Ley de voltajes de Kirchhoff, que para el circuito en cuestión se enuncia como sigue:

clip_image002

Aplicando la Ley de Ohm tenemos

clip_image004

Pero sabemos, por definición, que:

clip_image006

Sustituyendo, obtenemos

clip_image008

Esta es la ecuación base que describe el comportamiento del circuito. Nótese que es una ecuación diferencial lineal en la variable dependiente Q. Además, la ecuación no está en la forma estándar. Al insertar en ella los datos que nos suministra el encabezado del problema, llegamos a la siguiente expresión (que todavía no está en la forma estándar):

clip_image010

Para pasar esta ecuación a la forma estándar, basta con dividir a ambos lados por 50. Esto lo hacemos porque es este el factor que multiplica al diferencial de carga. Nos queda, entonces

clip_image012

Para comenzar a resolver la ecuación, hallamos primero el factor integrante de esta manera:

clip_image014

Por definición, el exponente de la e debe ser el resultado que dé la integración del factor que multiplica a la variable dependiente Q en el segundo término del miembro izquierdo de la ecuación lineal. Esta integración se lleva a cabo respecto de la variable independiente t y se realiza de esta manera para toda ecuación. Ahora multiplicamos la ecuación lineal por el factor integrante. Llegamos a esta expresión:

clip_image016

Aunque no sea tan evidente, el miembro izquierdo de esta ecuación responde a la ley de derivación de un producto de funciones, es decir, que podemos reescribir esta ecuación como:

clip_image018

Compruébese que si derivamos el lado izquierdo de esta última ecuación, obtendremos como resultado el lado izquierdo de la ecuación anterior. Esto sucede siempre en este tipo de ecuaciones. Trabajaremos, entonces, con esta última expresión. Integrando a ambos lados, tenemos

clip_image020

Donde C es una constante de integración, cuyo valor evaluamos a partir de las condiciones iniciales del problema. En este caso, se nos dice que la corriente es cero cuando t=0, por lo que se tiene que C=0 para este caso particular. Resolviendo para Q obtenemos que

clip_image022

Esta es la expresión de la carga Q en cualquier instante de tiempo t. Así, podemos escribir como primer respuesta que:

A-) La carga en el circuito en cualquier instante t es clip_image024 C

Ahora nos queda por calcular el valor de la corriente en función del tiempo y el instante en que la carga es máxima y el valor de dicha carga. Para encontrar el valor de la corriente acudimos de nuevo a este resultado:

clip_image006[1]

Derivando la expresión de la carga respecto del tiempo tenemos:

clip_image026

Luego, podemos decir que:

B-) La corriente en el circuito es clip_image028 A

Para saber en qué instante el valor de la carga es máximo, igualamos la corriente a cero y resolvemos para t. Recuérdese que para cualquier función, al igualar la primera derivada a cero, podemos conocer el punto donde la función alcanzará un máximo (o un mínimo) absoluto (o relativo). Así, tenemos que clip_image030

Para saber si este valor es un máximo o un mínimo, recurrimos al criterio de la segunda derivada. Para ello derivamos la expresión de la corriente –que es la primera derivada de la carga– y obtenemos que

clip_image032

Evaluando clip_image030[1] en dicha expresión tenemos que

clip_image034

Como el valor de la segunda derivada es menor que cero, concluimos que la carga alcanza un máximo en clip_image030[2]. Evaluando este valor en la expresión de carga del circuito (la de la respuesta A) tenemos:

clip_image036

De esta manera podemos dar como respuesta que:

C-) El valor de la carga es máximo cuando clip_image038 y el valor máximo de la carga es clip_image040

Esto da por terminada la solución del ejercicio.