A continuación se presentará cómo deducir una fórmula para calcular el volumen de un elipsoide, considerándolo como el sólido de revolución obtenido haciendo girar una elipse alrededor del eje x. Esto con la inmensa ventaja de que no es necesario recurrir al uso de integrales múltiples ni a hacer cambios de coordenadas, sino simplemente integrando el cuadrado de la función a lo largo de un intervalo apropiado.

Primeramente, tenemos una elipse centrada en el punto clip_image002 y en posición horizontal (es decir, con ambos focos sobre el eje x). Tenemos, para esta elipse, la siguiente ecuación:

clip_image004

Para poder calcular el volumen, debemos resolver la ecuación para y. Sin embargo, en este caso –y por razones que se detallarán en seguida– resolveremos para clip_image006 Así, nos queda:

clip_image008

Para cualquier función clip_image010 continua en el intervalo clip_image012, el volumen del sólido generado rotando la función alrededor del eje x viene dado por la ecuación:

clip_image014

Es precisamente por esta razón que resolvimos para clip_image016, pues es el cuadrado de la función el que utilizamos, y no la función misma. Sustituyendo clip_image016[1] en la expresión anterior, y colocando los límites de integración obtenemos:

clip_image018

Elegimos estos límites porque, al ser una elipse centrada en el punto clip_image002[1] y alineada horizontalmente, se extiende a lo largo del eje x desde el punto clip_image004[1] hasta el punto clip_image006[1]. Esta última integral puede separarse en dos integrales muy sencillas, así:

clip_image008[1]

                                                                 

clip_image010[1]

La primera la calculamos directamente; para la segunda hacemos la sustitución sencilla que se indica entre corchetes. Nos queda una expresión como esta:

clip_image026

Integramos:

clip_image028

Evaluamos ambos límites:

clip_image030

Llegamos de esta manera al siguiente resultado:

clip_image032

Nótese la semejanza de esta fórmula con la que utilizamos para calcular el volumen de una esfera:

clip_image034

Esto podemos explicarlo por el hecho de que el círculo no es más que una elipse en donde ambos focos coinciden en un punto llamado centro. Esta situación se da solamente cuando clip_image036. De ahí que al hacer la igualdad y sustituir los valores en la ecuación del volumen del elipsoide, obtengamos la ecuación del volumen de la esfera.

Se invita al lector a comprobar esto por sí mismo deduciendo la fórmula para el volumen de la esfera siguiendo el mismo método, a partir de la ecuación de una esfera centrada en el punto clip_image002[2]:

clip_image038

En este caso la integral por evaluar sería

clip_image040

Tras cuya solución llegaremos al mismo resultado.